Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\displaystyle \frac{-4xy}{y^2 - x^2} : \Bigl(\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}\Bigr);\)
б) \(\displaystyle \Bigl(\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}.\)
Вспомните:
а) \( \frac{4xy}{y^2 - x^2} : \Bigl(\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}\Bigr)=\)
\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \Bigl( \frac{1}{(y - x)(y+x)} ^{\color{blue}{\backslash{y+x}}} + \frac{1}{(y+x)^2} ^{\color{blue}{\backslash{y-x}}} \Bigr)=\)
\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{(y+x)+(y-x)}{(y-x)(y+x)^2} =\)
\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{y+\cancel{x}+y-\cancel{x}}{(y-x)(y+x)^2} =\)
\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y^2-x^2)(y+x)} =\)
\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} \cdot \frac{(y^2-x^2)(y+x)}{2y} =\)
\( =\frac{^2\cancel{4}x\cancel{y}\cdot\cancel{(y^2-x^2)}(y+x)}{\cancel{(y^2 - x^2)}\cdot\cancel{2y}} =\)
\(=2x(y+x).\)
б) \(\Bigl(\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)
\(=\Bigl(\frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{1}{(x-2y)(x+2y)}\cdot\frac{(2y-x)^2}{x+2y}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)
\(=\Bigl(\frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{(x-2y)^{\cancel{2}}}{{\cancel{(x-2y)}}(x+2y)^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)
\(=\Bigl(\frac{x-2y}{x(x+2y)} ^{\color{blue}{\backslash{x+2y}}} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} \Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)
\(=\frac{(x-2y)(x+2y)-x(x-2y)}{x(x+2y)^2}\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)
\(=\frac{\cancel{x^2}-4y^2-\cancel{x^2}+2xy}{x(x+2y)^2}\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)
\(=\frac{-4y^2+2xy}{x(x+2y)^2}\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)
\(=\frac{\cancel{2y}(x-2y)\cdot\cancel{(x+2y)^2}}{x\cancel{(x+2y)^2}\cdot\cancel{4}_2y^{\cancel{2}}}=\)
\(=\frac{x-2y}{2xy}.\)
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Вынос общего множителя:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
7) Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
8) Свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
Пояснения к пунктам:
Пункт а): привели две дроби к общему знаменателю \((y-x)(x+y)^2\), сложили числители, затем разделили исходную дробь на получившуюся и сократили одинаковые множители.
Пункт б): сначала заменили деление на дробь умножением на обратную и упростили его, затем выполнили вычитание дробей, а в конце умножили на внешнюю дробь и сократили одинаковые множители.
Вернуться к содержанию учебника